同余方程组
先把结论说在前面：
“同余方程组”就是：在模 (m_1,m_2,\dots) 下，一个未知数 (x) 同时满足好几个“余数条件”的方程组。 秦九韶在《数书九章》里提出的“大衍求一术”，就是一套系统求解这类方程组的算法，本质上就是中国版的“中国剩余定理 + 线性同余迭代算法”。
下面我分几层给你讲清楚：
- 什么是同余、同余方程、同余方程组
- 同余方程组什么时候有唯一解
- 秦九韶“大衍求一术”究竟在干嘛（从例子到一般原理）
- 和现代数论里的“中国剩余定理”是怎样一一对应的
一、从零讲：什么是“同余方程组”？
1.1 同余是啥？
在整数世界里，我们说：
[ a \equiv b \pmod m ]
读作“(a) 与 (b) 在模 (m) 意义下同余”，意思就是：
(a) 和 (b) 除以 (m) 的余数相同
或者更公式一点： [ m \mid (a-b) ]
例如：
- (17 \equiv 2 \pmod 5)（因为 (17-2=15) 能被 5 整除）
- (-3 \equiv 7 \pmod{10})（因为 (-3-7=-10) 能被 10 整除）
把“未知数”放进去，就得到同余方程，例如：
[ x \equiv 2 \pmod 5 ]
这就是：求所有整数 (x)，使它除以 5 余 2， 解就是：(x=2+5k)。
1.2 同余方程组是什么？
就是同时满足好几个模条件：
[
\begin{cases}
x \equiv a_1 \pmod{m_1}
x \equiv a_2 \pmod{m_2}
\quad\vdots
x \equiv a_k \pmod{m_k}
\end{cases}
]
举个直白的例子：
找一个数 (x) ，满足：
- 除以 3 余 2
- 除以 5 余 3
- 除以 7 余 2
写成同余方程组就是：
[ \begin{cases} x \equiv 2 \pmod 3[2pt] x \equiv 3 \pmod 5[2pt] x \equiv 2 \pmod 7 \end{cases} ]
你可以理解成： 同一个整数，在不同“刻度尺”（模数）下的“刻度位置（余数）”都被规定好了，问这个整数是多少。
二、什么时候它有唯一解？（模乘积意义下）
结论（就是后来叫“中国剩余定理”的东西）：
若各模数 (m_1,\dots,m_k) 两两互质（任何两 个的 gcd = 1），则：
- 这样的同余方程组一定有解；
- 并且在模 (M = m_1 m_2\cdots m_k) 意义下，解是唯一的。
也就是说，所有解都是：
[ x \equiv x_0 \pmod M ]
用白话说：
存在且仅存在一个 (0 \le x_0 < M) 满足这整套余数条件。
秦九韶的大衍求一术，就是在模 (M) 的范围内，把这个唯一解算出来的系统算法。
三、秦九韶的大衍求一术：直观版
《数书九章·大衍类》里，秦九韶提出“大衍求一术”，典型题型就是：
有物不知其数。 三三数之，余二； 五五数之，余三； 七七数之，余二。 问物若干？
这就是我们前面的系统：
[
\begin{cases}
x \equiv 2 \pmod 3
x \equiv 3 \pmod 5
x \equiv 2 \pmod 7
\end{cases}
]
我们先用**慢一点的“理解版”**走一遍，然后再讲秦九韶的“公式化版”。
3.1 先用“叠加法”感受一下
从第一个方程：
[ x \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow x = 2 + 3k ]
把它代入第二个方程：
[
2 + 3k \equiv 3 \pmod 5
\Rightarrow 3k \equiv 1 \pmod 5
]
在模 5 下： 3 的逆元是 2（因为 (3\times 2 = 6 \equiv 1 \pmod 5)）
所以：
[ k \equiv 2 \cdot 1 \equiv 2 \pmod 5 \Rightarrow k = 2 + 5t ]
于是：
[ x = 2 + 3(2+5t) = 8 + 15t ]
这时，我们已经合并成：
[ x \equiv 8 \pmod{15} ]
再把这个带入第三个条件：
[
8 + 15t \equiv 2 \pmod 7
15t \equiv -6 \equiv 1 \pmod 7
]
注意：15 ≡ 1 (mod 7)，所以方程变成：
[ t \equiv 1 \pmod 7 \Rightarrow t = 1 + 7s ]
于是：
[ x = 8 + 15(1+7s) = 23 + 105s ]
在 (0 \le x < 105) 范围内的解就是：
[ x = 23 ]
这就是整组方程在模 (105 = 3 \cdot 5 \cdot 7) 意义下的唯一解。
3.2 秦九韶怎么做？——“大衍求一术”的结构
他当然不会写成现代“解一次同余方程”这种形式，而是用一整套口诀 + 表格算法。
核心思想其实就是：
- 把所有模数乘起来得到 (M)；
- 对每个模数 (m_i)，算出一个“局部权重” (M_i = M / m_i)；
- 找到一个数 (e_i)，使得 (M_i e_i \equiv 1 \pmod{m_i})（也就是 (M_i) 在模 (m_i) 下的逆元）；
- 把各个“余数 × 局部权重 × 逆元”加起来，再对 (M) 取模，得到最终解。
这就是现代 CRT 的标准构造法，而秦九韶用“大衍求一术”把它“程式化”。
四、用“大衍求一术”的“模板”重算这个例子
我们再用刚才那组方程，按“秦九韶思路模板”来算一遍：
[
\begin{cases}
x \equiv 2 \pmod 3
x \equiv 3 \pmod 5
x \equiv 2 \pmod 7
\end{cases}
]
4.1 第一步：求总模 (M)
[ M = 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105 ]
4.2 第二步：求每一项的“局部模” (M_i)
- 对模 3：(M_1 = 105 / 3 = 35)
- 对模 5：(M_2 = 105 / 5 = 21)
- 对模 7：(M_3 = 105 / 7 = 15)
4.3 第三步：求每个 (M_i) 在各自模下的逆元 (e_i)
-
在模 3 下： 求 (35 e_1 \equiv 1 \pmod 3) 由于 35 ≡ 2 (mod 3)，所以： (2 e_1 ≡ 1 (mod 3))，逆元为 2（2×2=4≡1）， → (e_1 = 2)。
-
在模 5 下： (21 e_2 ≡ 1 \pmod 5) 21 ≡ 1 (mod 5)，所以 (e_2=1)。
-
在模 7 下： (15 e_3 ≡ 1 \pmod 7) 15 ≡ 1 (mod 7)，所以 (e_3=1)。
4.4 第四步：线性组合求 (x)
公式型写法：
[ x \equiv a_1 M_1 e_1 + a_2 M_2 e_2 + a_3 M_3 e_3 \pmod M ]
代入数据：
[ x \equiv 2 \cdot 35 \cdot 2 + 3 \cdot 21 \cdot 1 + 2 \cdot 15 \cdot 1 ]
计算一下：
- (2 \cdot 35 \cdot 2 = 140)
- (3 \cdot 21 = 63)
- (2 \cdot 15 = 30)
总和：
[ x \equiv 140 + 63 + 30 = 233 \pmod{105} ]
对 105 取模：
[ 233 - 2 \cdot 105 = 233 - 210 = 23 ]
所以：
[ x \equiv 23 \pmod{105} ]
这就是与刚才迭代法同样的结果。
这就是“大衍求一术”的数学内核。
古文中虽然用的是“乘除”、“倍数”、“等分”等词，但算法逻辑就是这样：
给每个同余条件一个“加权份额”，把它们合并成一个统一的解。
五、把秦九韶的思想翻译成现代“原理”表述
我们可以把大衍求一术的原理归纳成几个句子：
- 同余方程组的解可以写成一个线性组合：
[ x = \sum_{i=1}^{k} a_i M_i e_i ] 在模 (M) 意义下成立。
- 每个 (M_i) 在模 (m_i) 下是可逆的， 所以可以选择 (e_i) 使得 (M_i e_i \equiv 1 \pmod{m_i})。
这样：
- 对第 (i) 个模数 (m_i) 来说： [ x \equiv a_i \pmod{m_i} ] 而对其他模数 (m_j) 来说，由于 (M_i) 被 (m_j) 整除，对它们的余数贡献为 0。
- 总模 (M = \prod m_i) 的唯一性： 因为模数两两互质，任何两个不同的组合会在模 (M) 下给出不同余数，因此解在模 (M) 下唯一。
你可以把它看成：
把每个“余数条件”看作一个投票，每个投票权重是“其他模数的乘积 × 逆元”，然后把所有票加权求和，再在大模 (M) 下归一，得到最终答案。
六、秦九韶的贡献到底在哪里？
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系统化： 在他之前，中国已经有“剩余问题”的萌芽（如《孙子算经》的“物不知数，三三数之…”），但只是零散技巧。 秦九韶把它抽象成一道标准算法，可以对任意多模数、任意余数组合使用。
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程式化 + 可操作性： 他为“大衍求一术”配套了详细的步骤、口诀、算例，普通工匠、官吏按表操作即可，数学思想从“高玄理论”变成“实际计算工具”。
-
与“大衍”宇宙观结合： 秦九韶把算法命名为“大衍求一”，说明他有很强的象数意识：
- 多模、多余数 = 众多分殊
- 合并后唯一解 = 万殊归一，符合“大衍之数五十”这种“由多归一”的哲学结构
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在世界数学史上的位置： 西方形式化的“中国剩余定理”要晚到 19 世纪才被完全抽象出来，而秦九韶在 13 世纪就已经有完整的构造算法，属于极早的构造性数论思想。
七、如果你想继续深入，可以怎么学？
我可以帮你往下做几件事：
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用 Python 或纸算，带你亲手跑几组“大衍求一术”：
- 从两模、三模到很多模
- 感受计算量和模式
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把“大衍求一术”转成现代伪代码 / 程序：
- 让你看到它和现代 CRT 算法的 1:1 对应关系
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从“大衍求一术”过渡到更大的数论世界：
- 模逆元、扩展欧几里得算法
- 同余线性方程组的一般解
- 中国剩余定理在密码学、区块链中的应用（RSA、模幂运算加速）
如果你愿意，下一步我可以专门帮你写一份“从大衍求一术到现代中国剩余定理”的学习笔记，把“古文算法 ⇄ 现代数学”完全对照起来。